有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。 所谓01背包,表示每一个物品只有一个,要么装入,要么不装入。 二,解决方案: 考虑使用dp问题 求解,定义一个递归式 opt[i][v] 表示前i个物品,在背包容量大小为v的情况下,最大的装载量。 opt[i][v] = max(opt[i-1][v] , opt[i-1][v-c[i]] + w[i]) 解释如下: opt[i-1][v] 表示第i件物品不装入背包中,而opt[i-1][v-c[i]] + w[i] 表示第i件物品装入背包中。 花费如下: 时间复杂度为o(V * T) ,空间复杂度为o(V * T) 。 时间复杂度已经无法优化,但是空间复杂度则可以进行优化。 但必须将V 递减的方式进行遍历,即V.......0 的方式进行。 三,初始化: (1)若要求背包必须放满,则初始如下: f[0] = 0 , f[1...V]表示-INF。表示当容积为0时,只接受一个容积为0的物品入包。 (2)若要求背包可以空下,则初始化如下: f[0...V] = 0 ,表示任意容积的背包都有一个有效解即为0。 具体解释如下: 初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。 如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”, 其它容量的背包均没有合法的解,属于未定义的状态,它们的值就都应该是-∞了。 如果背包并非必须被装满,那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”, 这个解的价值为0,所以初始时状态的值也就全部为0了。 四 代码如下:
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